Давайте обозначим:

( v_{катера} = 42 ) км/ч — скорость катера в неподвижной воде.( v_{течения} = 2 ) км/ч — скорость течения реки.( t_{путешествия} ) — время в пути (без учета стоянки).( t_{стояния} = 2 ) ч — время стоянки.( t_{общий} = 23 ) ч — общее время рейса, включая стоянку.

Сначала определим время в пути. Время в пути будет равно общему времени минус время стоянки:

[
t{путешествия} = t{общий} - t_{стояния} = 23 - 2 = 21 \text{ ч.}
]

Теперь обозначим расстояние от исходного пункта до места, куда отправился катер, как ( d ). Это расстояние катер проходит первым направлением по течению и затем возвращается против течения.

Основные уравненияВремя в пути по течению:

По течению скорость катера будет:

[
v{по{течению}} = v{катера} + v{течения} = 42 + 2 = 44 \text{ км/ч.}
]

По этому направлению расстояние ( d ) можно выразить через время:

[
d = v{по{течению}} \cdot t{по{течению}}.
]

Обозначим ( t{по{течению}} ) как время в пути по течению, тогда:

[
t{по{течению}} = \frac{d}{44}.
]

Время в пути против течения:

Против течения скорость катера будет:

[
v{против{течения}} = v{катера} - v{течения} = 42 - 2 = 40 \text{ км/ч.}
]

По этому направлению время пути будет:

[
t{против{течения}} = \frac{d}{40}.
]

Общее время в пути

Общее время в пути будет равно сумме времени в пути по три течению и против течения:

[
t{путешествия} = t{по{течению}} + t{против_{течения}}.
]

Подставим выражения для времени в пути:

[
21 = \frac{d}{44} + \frac{d}{40}.
]

Уравнение для нахождения расстояния

Для решения это уравнение привели общему знаменателю для ( \frac{d}{44} + \frac{d}{40} ):

Общий знаменатель будет ( 440 ):

[
\frac{10d}{440} + \frac{11d}{440} = \frac{21d}{440}.
]

Теперь подставим обратно в уравнение:

[
21 = \frac{21d}{440}.
]

Умножим обе стороны на ( 440 ):

[
21 \cdot 440 = 21d.
]

Разделим обе стороны на 21:

[
440 = d.
]

Ответ

Таким образом, катер прошёл ( 440 ) километров за весь рейс.