Обозначим искомые числа как ( x ) и ( y ).

У нас есть система уравнений:

( x + y = 35 ) (сумма)( x \cdot y = 150 ) (произведение)

Из первого уравнения выразим ( y ):
[ y = 35 - x ]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:
[ x(35 - x) = 150 ]
[ 35x - x^2 = 150 ]

Перепишем уравнение:
[ x^2 - 35x + 150 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
[ D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 1225 - 600 = 625 ]

Найдем корни:
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{35 \pm 25}{2} ]

Теперь вычислим оба корня:

( x_1 = \frac{35 + 25}{2} = \frac{60}{2} = 30 )( x_2 = \frac{35 - 25}{2} = \frac{10}{2} = 5 )

Таким образом, числа:
[ x = 30, \quad y = 5 ]

Или наоборот:
[ x = 5, \quad y = 30 ]

Ответ: искомые числа — 30 и 5.