Обозначим количество мышек за ( n ), а общее количество головок сыра изначально - за ( S ).

В первую ночь мышки съели 10 головок сыра, и каждая съела по ( \frac{10}{n} ) головок. Во вторую ночь пришли только 11 мышек, и каждая из них съела в два раза меньше, то есть ( \frac{10}{2n} = \frac{5}{n} ).

Количество сыра, который остался во второй ночь, равно ( S - 10 ). Эти 11 мышек доели всё оставшееся количество сыра:

[
11 \cdot \frac{5}{n} = S - 10
]

Теперь у нас есть два уравнения:

Сначала все мышки съели 10 головок:
[
S = 10 + (11 \cdot \frac{5}{n})
]

Соединим эти уравнения:

Умножим ( n ) на два уравнения:
[
S = 10 + \frac{55}{n}
]

Поскольку второй способ находит оставшийся сыр, у нас есть:

[
S - 10 = \frac{55}{n} \implies S = \frac{55}{n} + 10
]

Теперь мы можем приравнять оба выражения для ( S ):

[
10 + \frac{55}{n} = \frac{55}{n} + 10
]

Таким образом, мы можем подставить значения для нахождения числа мышек ( n ). Выразим количество головок сыра, чтобы получить четкое значение.

Подсчитаем ( S ):

[
S - 10 = 11 \cdot \frac{5}{n}
]

При ( n = 5 ) это будет:

[
S - 10 = 11 \cdot 1 = 11 \Rightarrow S = 21
]

Таким образом, изначально в погребе хранилось 21 головка сыра.