Чтобы доказать, что длина хорды меньше длины дуги, которую она стягивает, можно воспользоваться некоторыми свойствами кругов и тригонометрическими соотношениями.

Доказательство:

Определения и обозначения:

Пусть есть круг с центром (O) и радиусом (R).Обозначим концов хордой (AB), а точку, лежащую на дуге (AB) (не на хорде), как (C).Обозначим угол (AOB) как (\theta) (в радианах).

Длина хорды:
Длина хорды (AB) может быть найдена по формуле:
[
AB = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right).
]

Длина дуги:
Длина дуги (ACB) между точками (A) и (B) — это часть окружности и может быть найдена по формуле:
[
L_{duga} = R \theta.
]

Сравнение длины хорды и длины дуги:
Нам нужно показать, что:
[
2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) < R \theta.
]
Убираем (R) из неравенства (при (R > 0)):
[
2 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) < \theta.
]

Используем неравенство для синуса:
Для (\theta > 0) утверждение ( \sin(x) < x) для (x > 0) верно.
Подставляя (x = \frac{\theta}{2}), получаем:
[
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) < \frac{\theta}{2}.
]
Умножая обе стороны на 2, получаем:
[
2 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) < \theta.
]

Таким образом, мы показали, что длина хорды меньше длины дуги.

Заключение:

Доказано, что хорда (AB) меньше дуги (ACB), которую она стягивает.