Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, начнём с анализа условий задачи.

Высота пирамиды: ( h = 4\sqrt{3} ).Угол боковой грани с плоскостью основания: ( \alpha = 60^\circ ).

Боковая грань пирамиды — это равнобедренный треугольник, который образуется от вершины пирамиды до оснований. Давайте обозначим:

( S ) — площадь боковой поверхности пирамиды,( a ) — длина ребра основания пирамиды (сторона правильного треугольника),( l ) — высота боковой грани (образует боковую грань).

Сначала найдем высоту боковой грани ( l ). Исходя из геометрии, мы знаем, что:

[
\tan(\alpha) = \frac{h}{l}
]

где ( \alpha = 60^\circ ). Из тригонометрии следует:

[
\tan(60^\circ) = \sqrt{3}
]

Следовательно, используя данную формулу:

[
\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{l}
]

Отсюда:

[
l = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4
]

Теперь мы знаем высоту боковой грани. Каждый из боковых треугольников (боковых граней) равенобедренный и имеет высоту ( l = 4 ). Зная высоту бокового треугольника, мы можем найти длину стороны основания.

Поскольку основание правильной треугольной пирамиды является равносторонним треугольником и каждая сторона составляет угол ( 60^\circ ) с высотой, используя синус:

[
\sin(60^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}}
]

где ( \frac{a}{2} ) — это половина стороны основания. Таким образом:

[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{a}{2}}
]

Решаем это уравнение для нахождения ( a ):

[
\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2} = 4\sqrt{3}
]

Тогда:

[
\frac{a\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}
]

Отсюда:

[
a\sqrt{3} = 16
]

Таким образом:

[
a = \frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}
]

Теперь, зная, что площадь боковой поверхности состоит из 3 боковых граней:

[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l \cdot 3
]

Подставим ( a ) и ( l ):

[
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot 4 \cdot 3 = 32\sqrt{3}
]

Итак, окончательный ответ:

[
\text{Площадь боковой поверхности пирамиды: } S = 32\sqrt{3}.
]