Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся формулой:

[
V = \frac{1}{3} S_{основание} \cdot h
]

где ( S_{основание} ) — площадь основания, а ( h ) — высота пирамиды.

Находим высоту пирамиды ( h ). У нас имеется боковое ребро, которое равно 12 см и наклонено к плоскости основания под углом 30 градусов.

Используем тригонометрию. Высоту можно определить с помощью следующего соотношения:

[
h = l \cdot \sin(\alpha)
]

где ( l = 12 ) см — длина бокового ребра, а ( \alpha = 30^\circ ).

Подставляем значения:

[
h = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}
]

Находим площадь основания ( S_{основание} ). Поскольку основание является правильным квадратом, можно выразить его площадь через сторону квадрата. Обозначим сторону квадрата как ( a ).

Для правильной четырехугольной пирамиды, используя теорему Пифагора в треугольнике с вершиной пирамиды, высотой и половиной стороны основания:

[
l^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2
]

где ( h = 6 ) см и ( l = 12 ) см. Подставляем значения:

[
12^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 6^2
]

[
144 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 36
]

[
144 - 36 = \left(\frac{a}{2}\right)^2
]

[
108 = \left(\frac{a}{2}\right)^2
]

Теперь возьмем квадратный корень:

[
\frac{a}{2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}
]

Следовательно:

[
a = 12\sqrt{3}
]

Теперь можем найти площадь основания:

[
S_{основание} = a^2 = (12\sqrt{3})^2 = 144 \cdot 3 = 432 \text{ см}^2
]

Теперь можно найти объем ( V ):

[
V = \frac{1}{3} S_{основание} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 432 \cdot 6
]

[
V = \frac{1}{3} \cdot 2592 = 864 \text{ см}^3
]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен ( 864 \text{ см}^3 ).