Давайте докажем, что если число ( n ) не делится на 7, то куб этого числа, увеличенный или уменьшенный на 1, делится на 7.

Пусть ( n ) – целое число, которое не делится на 7. Это означает, что ( n ) может принимать одно из значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6 по модулю 7. Рассмотрим куб каждого из этих остатков:

Если ( n \equiv 1 \mod{7} ):
[
n^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \mod{7}
]
Тогда:
[
n^3 - 1 \equiv 0 \mod{7}
]

Если ( n \equiv 2 \mod{7} ):
[
n^3 \equiv 2^3 \equiv 8 \equiv 1 \mod{7}
]
Тогда:
[
n^3 - 1 \equiv 0 \mod{7}
]

Если ( n \equiv 3 \mod{7} ):
[
n^3 \equiv 3^3 \equiv 27 \equiv 6 \mod{7}
]
Тогда:
[
n^3 + 1 \equiv 0 \mod{7}
]

Если ( n \equiv 4 \mod{7} ):
[
n^3 \equiv 4^3 \equiv 64 \equiv 1 \mod{7}
]
Тогда:
[
n^3 - 1 \equiv 0 \mod{7}
]

Если ( n \equiv 5 \mod{7} ):
[
n^3 \equiv 5^3 \equiv 125 \equiv 6 \mod{7}
]
Тогда:
[
n^3 + 1 \equiv 0 \mod{7}
]

Если ( n \equiv 6 \mod{7} ):
[
n^3 \equiv 6^3 \equiv 216 \equiv 6 \mod{7}
]
Тогда:
[
n^3 + 1 \equiv 0 \mod{7}
]

Таким образом, для всех возможных значений ( n ), которое не делится на 7, мы доказали, что либо ( n^3 - 1 \equiv 0 \mod{7} ), либо ( n^3 + 1 \equiv 0 \mod{7} ).

Следовательно, если число ( n ) не делится на 7, то ( n^3 \pm 1 ) делится на 7. Это и требовалось доказать.