Чтобы найти расстояние между точками касания A и B, можно воспользоваться свойствами кругов и треугольников.

Задача 1Угол AOB = 120 градусов.Длина отрезка MO = 14.Так как MA и MB – касательные к окружности из точки M, они равны (MA = MB).

По свойству касательных, угол MOA равен углу AOB/2:
[
\angle MOA = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ
]

Теперь рассмотрим треугольник MOA. Мы можем найти длину MA. Для этого используем закон косинусов:

[
OA = r \quad (\text{радиус окружности})
]
[
MA = MO \cdot \sin(60^\circ) = 14 \cdot \sin(60^\circ) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}
]

Теперь рассчитаем длину отрезка AB. Используем следующие соотношения:

[
AB = 2 \cdot MA \cdot \sin(\frac{AOB}{2})
]
[
AB = 2 \cdot (7\sqrt{3}) \cdot \sin(60^\circ)
]
[
AB = 2 \cdot (7\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 \cdot 3 = 21
]

Таким образом, расстояние между точками касания A и B равно 21.

Задача 2Угол AOB = 60 градусов.Длина MA = 9.

По свойству касательных, угол MOA также равен углу AOB/2:
[
\angle MOA = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ
]

Теперь мы можем рассчитать MO и радиус OA. Длина OM может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:

Пусть r – радиус окружности:
[
MO^2 = MA^2 + OA^2 \implies MO = \sqrt{MA^2 + OA^2}
]

Пусть по аналогии мы знаем длину AO (r),
мы можем использовать стороны MA и угол MOA:
[
OA = MA \cdot \cos(30^\circ) = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}
]

Подставим обратно в силу MO:
[
MO^2 = MA^2 + OA^2 \implies MO = \sqrt{9^2 + \left( \frac{9\sqrt{3}}{2} \right)^2}
]
[
MO = \sqrt{81 + \frac{243}{4}} = \sqrt{\frac{324 + 243}{4}} = \sqrt{\frac{567}{4}} = \frac{\sqrt{567}}{2}
]

Теперь находим AB:
[
AB = 2 \cdot MA \cdot \sin(\frac{60}{2})
]
[
AB = 2 \cdot 9 \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 9
]

Таким образом, расстояние между точками касания A и B равно 9.