Чтобы решить уравнение ( \tan^2 x = 2 \tan x ), сначала упростим его. Перепишем уравнение:

[
\tan^2 x - 2 \tan x = 0
]

Теперь вынесем ( \tan x ) за скобки:

[
\tan x (\tan x - 2) = 0
]

Это уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы получаем два случая:

( \tan x = 0 )( \tan x - 2 = 0 ) (или ( \tan x = 2 ))

Теперь решим каждый случай отдельно.

1. Решим ( \tan x = 0 ):

( \tan x = 0 ) при ( x = n\pi ), где ( n ) — целое число.

2. Решим ( \tan x = 2 ):

Здесь ( x = \arctan(2) + k\pi ), где ( k ) — целое число (так как тангенс имеет период ( \pi )).

Таким образом, общее решение будет:

[
x = n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) \quad \text{или} \quad x = \arctan(2) + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
]

Это и есть полный набор решений для вашего уравнения.