Пусть основание AD равно ( a ) (меньшее основание) и равняется ( 9\sqrt{3} ), а основание BC равно ( b ). Диагональ BD равна 18, а угол A равен 45°.

В прямоугольной трапеции с углом A равным 45° треугольник ABD является прямоугольным. Используем свойства треугольника и обозначим высоту трапеции, проведенную из точки B, как ( h ).

По определению тангенса угла:

[
\tan(45^\circ) = \frac{h}{AD}
]

Поскольку (\tan(45^\circ) = 1):

[
h = AD = 9\sqrt{3}
]

Теперь нужно рассмотреть треугольник ABD. В этом треугольнике BD является гипотенузой, а AB и AD – катетами. По теореме Пифагора имеем:

[
BD^2 = AB^2 + AD^2
]

Где ( BD = 18 ), ( AD = 9\sqrt{3} ). Подставляем значения:

[
18^2 = AB^2 + (9\sqrt{3})^2
]

[
324 = AB^2 + 243
]

Следовательно,

[
AB^2 = 324 - 243 = 81
]

[
AB = \sqrt{81} = 9
]

Теперь у нас есть длина одной боковой стороны ( AB = 9 ).

Чтобы найти основание BC, воспользуемся тем, что в прямоугольной трапеции высота равна ( h = 9\sqrt{3} ), а также тем, что основание BC будет равно AD плюс разность высот и оснований. Обозначим боковую сторону CD как ( x ). Мы можем использовать треугольник BCD:

[
CD^2 = h^2 + (b - a)^2
]

Подставляем известные значения:

[
x^2 = (9\sqrt{3})^2 + (b - 9\sqrt{3})^2
]

Сначала найдем длину BC. В данной случае, поскольку у нас основание AD и угол A известны, можно выразить BC:

Запишем:

[
BC = AD + h = 9\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 18\sqrt{3}
]

Теперь воспользуемся тем, что основание будет выполнено в условии, и используем Пифагора:

[
x^2 = (9\sqrt{3})^2 + (18\sqrt{3} - 9\sqrt{3})^2 = 243 + (9\sqrt{3})^2
]

[
x^2 = 243 + 243 = 486,
]
[
x = \sqrt{486} = 9\sqrt{6}.
]

Итак, можно подвести итог:

Боковая сторона CD (большая боковая сторона) равна ( 9\sqrt{6} ).