Для определения максимальной возможной площади поверхности многогранника при заданном объеме можно обратиться к теореме о минимальной площади поверхности для заданного объема, которая утверждает, что среди всех многогранников с фиксированным объемом минимальная площадь поверхности у шара.

Таким образом, если объем многогранника равен ( V ), то максимальная площадь поверхности будет у шара, имеющего тот же объем. Площадь поверхности шара ( S ) выражается через его объем ( V ) следующим образом:

Объем шара: ( V = \frac{4}{3} \pi r^3 ), где ( r ) — радиус шара.Площадь поверхности шара: ( S = 4 \pi r^2 ).

Из первого уравнения находим радиус ( r ):

[
r = \left( \frac{3V}{4\pi} \right)^{1/3}.
]

Подставим это значение в формулу для площади поверхности:

[
S = 4 \pi \left( \left( \frac{3V}{4\pi} \right)^{1/3} \right)^2 = 4 \pi \cdot \frac{3^{2/3} V^{2/3}}{(4\pi)^{2/3}} = 4^{1/3} \cdot 3^{2/3} \cdot \pi^{1/3} \cdot V^{2/3}.
]

Таким образом, максимальная возможная площадь поверхности многогранника с заданным объемом ( V ) достигается у шара, и формула для ее вычисления будет:

[
S_{\text{max}} = 4^{1/3} \cdot 3^{2/3} \cdot \pi^{1/3} \cdot V^{2/3}.
]