Для доказательства того, что произведение нескольких (более одного) последовательных натуральных чисел не может равняться ( 29030400 ), начнём с факторизации этого числа.

Во-первых, найдём факторизацию числа ( 10! ). Используя факторизацию факториала, мы можем записать ( 10! ) как произведение простых чисел в степени:

[
10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 2^8 \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1.
]

Теперь умножим ( 10! ) на ( 8 ):

[
10! \times 8 = 29030400.
]

Рассмотрим факторизацию ( 8 = 2^3 ):

Таким образом, у нас получится:

[
29030400 = 10! \times 8 = 2^{8+3} \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1 = 2^{11} \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1.
]

Теперь нам нужно определить, каким образом можно представить ( 29030400 ) в виде произведения нескольких последовательных натуральных чисел. Пусть последовательные натуральные числа будут ( n, n+1, n+2, \ldots, n+k-1 ) для некоторого ( k > 1 ).

Произведение ( n(n+1)(n+2)\cdots(n+k-1) ) будет делиться на ( k! ), так как ( n ) — это первое число последовательности. Это связано с тем, что в каждом наборе из ( k ) последовательных чисел обязательно присутствуют все возможные остатки при делении на ( k ), а значит, это произведение делится на факториал ( k ).

Следовательно, если ( k ) — скорость роста произведения (размер интервала), то можно сказать что:

[
P = n(n + 1)(n + 2)\cdots(n + k - 1) \text{ делится на } k!.
]

Теперь, чтобы понять, может ли ( P = 29030400 ), посчитаем ( 10! ) и сравним с ( k! ). Так как ( 10! = 3628800 ), единственное значение ( k ) для вычисления равно ( 8 ) или меньше.

Пусть ( k = 8 ):

[
k! = 40320.
]

Число ( 29030400 ) делится на ( k! ):

[
29030400 = 10! \cdot 8 \text{ делится на } 40320.
]

Сравнив разные значения ( k ) меньше ( 10 ), можно заметить, что уже начиная с 8, он вносит слишком много.

На следующих простых множителях в общем произведении:( 2^{11}, 3^4, 5^2, 7 ) обязательно будет меньше множителей по сравнению с произведением последовательных чисел. Мы сравниваем, на сколько 29030400 по росту, в то время, как ( k! ) очередной раз уже не достигает его значений.

Таким образом, с помощью разложения на множители, видим, что если бы можно было выразить product как произведение более одного последовательного числа, то они все равно по итоговым факторным множителям должны быть равны, что невозможно! Следовательно, произведение более одного последовательного натурального числа не может равняться ( 29030400 ).