Чтобы решить уравнение ( \sin(3x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ), сначала находим, при каких значениях аргумента синус равен (-\frac{\sqrt{3}}{2}).

Синус равен (-\frac{\sqrt{3}}{2}) в следующих квадрантах:

Во втором квадранте: ( 210^\circ ) (или ( \frac{7\pi}{6} ))В третьем квадранте: ( 330^\circ ) (или ( \frac{11\pi}{6} ))

Однако, поскольку мы имеем ( \sin(3x) ), нужно записать уравнения для ( 3x ):
[
3x = 210^\circ + 360^\circ k \quad \text{или} \quad 3x = 330^\circ + 360^\circ k
]
где ( k ) — любое целое число.

Теперь распишем эти уравнения для ( x ):

( 3x = 210^\circ + 360^\circ k )
[
x = 70^\circ + 120^\circ k
]( 3x = 330^\circ + 360^\circ k )
[
x = 110^\circ + 120^\circ k
]

Таким образом, общее решение уравнения будет:
[
x = 70^\circ + 120^\circ k \quad \text{или} \quad x = 110^\circ + 120^\circ k,
]
где ( k ) — любое целое число.

Если требуется записать ответ в радианах, то преобразуем углы:

( 70^\circ = \frac{7\pi}{18} )( 110^\circ = \frac{11\pi}{18} )

Решение в радианах:
[
x = \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} k \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} k,
]
где ( k ) — любое целое число.