Рассмотрим вашу задачу более подробно. Пусть $A$ — это точка на прямой $M$, а точки $B$ и $C$ находятся по одну сторону от $M$.

Для начала обозначим расстояния между точками:

$d(A,B)=AB$ — расстояние между точкой $A$ и точкой $B$$d(A,C)=AC$ — расстояние между точкой $A$ и точкой $C$

Согласно условию, ( AB < AC ).

Теперь давайте рассмотрим произвольную точку $P$ на отрезке $AB$. Необходимым условием для того, чтобы $P$ была ближе к $C$ чем к $B$, является следующее неравенство:

[
d(P, C) < d(P, B)
]

Теперь выразим расстояния между точками. Пусть $AB=d$ — это расстояние от $A$ до $B$. Точка $P$ может быть представлена как $P=A+t$, где $t$ изменяется от $0$ до $d$ $тоесть(P)движетсяот(A)к(B)$.

Теперь рассчитаем расстояния:

Расстояние от $P$ до $B$:
$$d(P,B)=|P-B|=|(A+t)-B|=|A-B+t|=d-t$$

Расстояние от $P$ до $C$:
$$d(P,C)=|P-C|=|(A+t)-C|=|(A-C)+t|=|AC-t|$$

Теперь необходимо проверить условие:
[
|AC - t| < d - t
]

Расписав это неравенство:

Если $AC-t\ge 0$, то:
[
AC - t < d - t \implies AC < d
]
Это противоречит условию ( d(A, C) > d(A, B) ) или ( AC > AB ).

Если ( AC - t < 0 ), то:
[
t - AC < d - t \implies 2t < AC + d \implies t < \frac{AC + d}{2}
]
Это возможно, если только резервировать часть отрезка $AB$.

Таким образом, можно видеть, что как только мы движемся ближе к $B$ $тоестьуменьшаем(t)$, расстояние до $C$ будет расти, и наоборот: как только мы двигаемся ближе к $C$, расстояние до точки $B$ тоже растёт. Следовательно, по мере того, как $P$ приближается к $B$, $d(P,C)$ растёт, что делает невозможным, чтобы $P$ была ближе к $C$ чем к $B$.

Таким образом, ответ на вашу задачу: нет, на отрезке $AB$ не может существовать такая точка $P$, которая находилась бы ближе к $C$, чем к $B$.