Задача заключается в том, чтобы показать, что для трех множеств $A$, $B$ и $C$ выполняется равенство:

$$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$$

Это равенство является одним из основных свойств операций над множествами и называется дистрибутивностью относительно объединения и пересечения.

Доказательство

Левая часть: $(A\cup B)\cap C$

Элемент $x$ принадлежит $(A\cup B)\cap C$, если он принадлежит одновременно и $A\cup B$, и $C$. Это означает, что:

$x\in C$$x\in A$ или $x\in B$ $таккак(x\in A\cup B)$

То есть, можно записать:

$$x\in C\text{и}(x\in A\text{или}x\in B)$$

Правая часть: $(A\cap C)\cup (B\cap C)$

Элемент $x$ принадлежит $(A\cap C)\cup (B\cap C)$, если он принадлежит хотя бы одному из множеств $A\cap C$ или $B\cap C$. Это означает, что:

$x\in A\cap C$ или $x\in B\cap C$Это эквивалентно тому, что:
$x\in A$ и $x\in C$ или$x\in B$ и $x\in C$

Сравнение двух частей

Для элемента $x$ из левой части:
Если $x\in C$ и $x\in A$, то $x$ также принадлежит $A\cap C$.Если $x\in C$ и $x\in B$, то $x$ также принадлежит $B\cap C$.

Таким образом, если $x\in (A\cup B)\cap C$, то $x$ принадлежит или $A\cap C$, или $B\cap C$, что означает, что $x\in (A\cap C)\cup (B\cap C)$.

Теперь, для элемента $x$ из правой части:
Если $x\in (A\cap C)$, это значит, что $x\in A$ и $x\in C$, следовательно, $x\in A\cup B$ и $x\in C$, что означает, что $x\in (A\cup B)\cap C$.Аналогично, если $x\in (B\cap C)$, то $x\in (A\cup B)\cap C$.

Таким образом, если $x\in (A\cap C)\cup (B\cap C)$, то $x\in (A\cup B)\cap C$.

Заключение

Мы доказали, что каждое $x$ из левой части принадлежит правой, и наоборот. Поэтому равенство:

$$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$$

верно.

Для визуального представления вы можете изобразить три пересекающихся круга, в которых видно, как объединяются и пересекаются области.