Для решения задачи начнем с определения всех необходимых элементов нашего равнобедренного треугольника ABC, где AB = BC, угол при вершине B равен ( \frac{2\pi}{3} ), а боковая сторона AB равна 12.

Определим стороны треугольника:
Назовем длину стороны AC (основания) как ( c ). В равнобедренном треугольнике ABC с AB = BC = 12 и углом при вершине ( B = \frac{2\pi}{3} ) можем использовать формулу для нахождения стороны c через боковые стороны и угол между ними.

По формуле косинусов:
[
c^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B)
]
Подставим известные значения:
[
c^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)
]
Мы знаем, что ( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} ), поэтому:
[
c^2 = 144 + 144 + 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}
]
[
c^2 = 144 + 144 + 144 = 432
]
[
c = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}
]

Найдем высоту:
Используем формулу для нахождения высоты h, опущенной на основание AC. Известно, что в равнобедренном треугольнике высота также делит основание пополам. Таким образом, AC будет делиться на два отрезка по (\frac{c}{2}).

Обозначим высоту как ( h ).

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, мы можем использовать теорему Пифагора:
[
h^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 = AB^2
]
Подставим известные значения:
[
h^2 + \left(\frac{12\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 12^2
]
[
h^2 + (6\sqrt{3})^2 = 144
]
[
h^2 + 108 = 144
]
[
h^2 = 144 - 108 = 36
]
[
h = \sqrt{36} = 6
]

Таким образом, высота треугольника, опущенная на основание AC, равна 6.