Обозначим угол между диагоналями прямоугольника как ( \theta ). Пусть ( D ) — диагональ прямоугольника, проведем из одной из вершин перпендикуляр к диагонали ( D ).

Пусть данный угол будет ( \alpha ), а угол, который образует перпендикуляр с одной из сторон прямоугольника — ( 90^\circ ). По условию, угол ( \alpha ) делится в отношении 10:5, что означает, что угол ( \alpha ) можно разбить на части:
[
\alpha_1 = \frac{10}{15}\alpha = \frac{2}{3}\alpha
]
и
[
\alpha_2 = \frac{5}{15}\alpha = \frac{1}{3}\alpha.
]

Так как угол между диагоналями прямоугольника равен ( 2 \theta ), мы имеем
[
\theta = 45^\circ.
]

Теперь мы можем использовать этот результат для нахождения угла между диагоналями. Поскольку каждая диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника и угол между ними будет равен ( 90^\circ ).

Исходя из вышеизложенного, угол между диагоналями прямоугольника равен ( 90^\circ ).