Решим уравнение ( x^2 + 1 \equiv 0 \mod{25} ). Это эквивалентно тому, что нам нужно найти такие ( x ), что:

[
x^2 \equiv -1 \mod{25}
]

Это означает, что нам нужно найти ( x ), чтобы ( x^2 \equiv 24 \mod{25} ).

Для этого мы можем попробовать подбирать значения ( x ) от 0 до 24 и подставлять их в выражение ( x^2 \mod{25} ).

( 0^2 \equiv 0 )( 1^2 \equiv 1 )( 2^2 \equiv 4 )( 3^2 \equiv 9 )( 4^2 \equiv 16 )( 5^2 \equiv 0 )( 6^2 \equiv 6 )( 7^2 \equiv 24 )( 8^2 \equiv 9 )( 9^2 \equiv 6 )( 10^2 \equiv 0 )( 11^2 \equiv 24 )( 12^2 \equiv 19 )( 13^2 \equiv 19 )( 14^2 \equiv 24 )( 15^2 \equiv 0 )( 16^2 \equiv 6 )( 17^2 \equiv 24 )( 18^2 \equiv 9 )( 19^2 \equiv 6 )( 20^2 \equiv 0 )( 21^2 \equiv 16 )( 22^2 \equiv 9 )( 23^2 \equiv 4 )( 24^2 \equiv 1 )

Мы видим, что значения ( x = 7 ), ( x = 11 ) и ( x = 14 ) дают:

( 7^2 \equiv 24 )( 11^2 \equiv 24 )( 14^2 \equiv 24 )

Таким образом, решения уравнения ( x^2 + 1 \equiv 0 \mod{25} ) будут:

[
x \equiv 7 \mod{25} \quad \text{и} \quad x \equiv 18 \mod{25}
]

Это означает, что решения: ( x = 7, 18 ) (всегда можно добавить или вычесть 25 для получения других эквивалентных классов, но в рассматриваемом диапазоне ищем только от 0 до 24).