Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника, в который вписана окружность.

Обозначим равнобедренный треугольник как ( ABC ), где ( AB = AC ) и угол ( \angle ABC = 120^\circ ). Обозначим высоту, проведенную из вершины ( A ) к основании ( BC ), как ( h ).

Пусть ( r ) — радиус вписанной окружности, а ( O ) — центр окружности. Из условия задачи известно, что расстояние от центра окружности до вершины тупого угла (вершины ( A )) равно ( AO = 2 - \sqrt{3} ).

Мы знаем, что расстояние от центра окружности до стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности ( r ). Мы также можем связать высоту ( h ), радиус ( r ) и площадь треугольника:

Площадь треугольника можно выразить через высоту относительно основания:

[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h.
]

Также площадь можно выразить через радиус вписанной окружности:

[
S = r \cdot p,
]

где ( p ) — полупериметр треугольника.

В нашем случае мы можем рассмотреть два прямоугольных треугольника: ( AOB ) и ( AOC ). В этих треугольниках мы имеем угол ( AOB = 60^\circ ) (так как ( \angle ABC = 120^\circ ) и угол между высотой и основанием равен ( 60^\circ )).

Используя теорему о высоте в прямоугольном треугольнике:

[
h^2 + r^2 = AO^2,
]

где ( AO = 2 - \sqrt{3} ). Подставим в формулу:

[
h^2 + r^2 = (2 - \sqrt{3})^2.
]

Вычислим ( (2 - \sqrt{3})^2 ):

[
(2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}.
]

Таким образом, у нас есть:

[
h^2 + r^2 = 7 - 4\sqrt{3}.
]

Рассмотрим соотношение между высотой ( h ) и радиусом вписанной окружности ( r ). Мы знаем, что:

[
r = \frac{S}{p}.
]

С учетом равнобедренного треугольника, высоту ( h ) можно выразить как:

[
h = 2 \cdot r \cdot \frac{\sin(60^\circ)}{\sin(120^\circ)},
]

где ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ) и ( \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ). Находим отношение:

[
h = r.
]

Таким образом, подставляя ( r = h ) в уравнение выше, получим:

[
h^2 + h^2 = 7 - 4\sqrt{3},
]

приведем подобные:

[
2h^2 = 7 - 4\sqrt{3}.
]

Теперь находим ( h^2 ):

[
h^2 = \frac{7 - 4\sqrt{3}}{2}.
]

Теперь возьмем корень:

[
h = \sqrt{\frac{7 - 4\sqrt{3}}{2}}.
]

Таким образом, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна ( \sqrt{\frac{7 - 4\sqrt{3}}{2}} ).