Дано следующее уравнение:

1) (\sin \alpha + \sin \beta = -\sqrt{2})

2) (\cos(\alpha + \beta) = -1)

Сначала рассмотрим уравнение (2). Условие (\cos(\alpha + \beta) = -1) означает, что:

[
\alpha + \beta = (2k + 1)\pi
]

где (k) — целое число.

Теперь выразим (\beta) через (\alpha):

[
\beta = (2k + 1)\pi - \alpha
]

Теперь подставим это выражение в уравнение (1):

[
\sin \alpha + \sin((2k + 1)\pi - \alpha) = -\sqrt{2}
]

Функция синуса имеет свойство: (\sin((2k + 1)\pi - x) = (-1)^{k+1} \sin x). Мы можем упростить это уравнение, принимая во внимание, что (\sin((2k + 1)\pi - \alpha) = -\sin \alpha) для нечётного (k). Если (k) чётный, (\sin((2k + 1)\pi - \alpha) = \sin \alpha).

Рассмотрим случай (k = 0) (нечётный):

[
\sin \alpha - \sin \alpha = -\sqrt{2}
]

Это уравнение не имеет смысла, так как (0) не равно (-\sqrt{2}).

Возьмем (k = -1) (чётный):

[
\sin \alpha + \sin \alpha = -\sqrt{2}
]

[
2 \sin \alpha = -\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}
]

Это возможно при:

[
\alpha = \frac{7\pi}{4} + 2m\pi \quad \text{или} \quad \alpha = \frac{3\pi}{4} + 2m\pi
]

Теперь, подставляя (\alpha) и выражая (\beta):

Если (\alpha = \frac{7\pi}{4}), то

[
\beta = (2k + 1)\pi - \frac{7\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2m\pi
]

Теперь найдём (\cos(\alpha - \beta)):

[
\cos(\alpha - \beta) = \cos\left(\frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{6\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0
]

Таким образом, (\cos(\alpha - \beta) = 0).