Для того чтобы определить, при каком значении параметра (a) система неравенств
[
\begin{cases}
x + 4a \leq 7 \
2x - a \geq 0
\end{cases}
]
имеет бесконечное множество решений, начнем с решения каждого неравенства.

Решим первое неравенство: [
x + 4a \leq 7 \implies x \leq 7 - 4a.
]

Решим второе неравенство: [
2x - a \geq 0 \implies 2x \geq a \implies x \geq \frac{a}{2}.
]

Теперь у нас есть два неравенства:
[
\begin{cases}
x \leq 7 - 4a \
x \geq \frac{a}{2}
\end{cases}
]

Система будет иметь бесконечное множество решений, если промежуток между двумя границами неравенств перекрывается:
[
\frac{a}{2} \leq 7 - 4a.
]

Теперь решим неравенство:
[
\frac{a}{2} + 4a \leq 7 \implies \frac{a}{2} + \frac{8a}{2} \leq 7 \implies \frac{9a}{2} \leq 7.
]
Умножим обе стороны на 2:
[
9a \leq 14 \implies a \leq \frac{14}{9}.
]

Кроме этого, для того чтобы неравенства имели решения, границы должны пересекаться, следовательно, еще необходимо, чтобы:
[
7 - 4a \geq \frac{a}{2}.
]

Решим это неравенство:
[
7 - 4a \geq \frac{a}{2} \implies 7 \geq 4a + \frac{a}{2}.
]
Приведем к общему знаменателю:
[
7 \geq \frac{8a}{2} + \frac{a}{2} \implies 7 \geq \frac{9a}{2}.
]
Умножим обе стороны на 2:
[
14 \geq 9a \implies \frac{14}{9} \geq a.
]

Таким образом, значение параметра (a) должно удовлетворять условию:
[
a \leq \frac{14}{9}.
]

Теперь подытожим:
Система двух неравенств имеет бесконечное множество решений при (a \leq \frac{14}{9}).