Для нахождения расстояния между точками касания ( A ) и ( B ) окружности, можно воспользоваться свойствами касательных к окружности и треугольником.

Пусть радиус окружности равен ( R ). Известно, что точки касания ( A ) и ( B ) находятся на окружности, а отрезки ( MA ) и ( MB ) являются касательными к окружности. Также ( AO \perp MA ) и ( BO \perp MB ).

Из условия задачи мы знаем, что угол ( AOB = 120^\circ ) и ( MO = 8 ).

Проведем радиусы ( OA ) и ( OB ). То есть, у нас есть треугольник ( OAB ) с известным углом ( AOB = 120^\circ ).

Поскольку ( MA ) и ( MB ) — касательные, мы можем использовать теорему о касательных, говорящую о том, что длина касательной из внешней точки равна радиусу, умноженному на синус угла, лежащего напротив.

Чтобы найти длину отрезка ( AB ), применим формулу:
[
AB = 2 \cdot MA \cdot \sin\left(\frac{\angle AOB}{2}\right)
]
где ( MA ) — длина касательной ( MА ).

Зная, что ( \angle AOB = 120^\circ ), мы имеем:
[
\frac{\angle AOB}{2} = 60^\circ
]
Тогда, используя синус:
[
\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
]

Касательная ( MA ) равна:
[
MA = \sqrt{MO^2 - R^2}
]
При этом известное значение ( MO = 8 ).

Чтобы выразить ( R ), воспользуемся косинусом угла ( AOB ):
[
MO^2 = MA^2 + OA^2
]

Поскольку ( OA = R ):
[
8^2 = MA^2 + R^2
]
Таким образом:
[
64 = MA^2 + R^2
]
Теперь выразим ( R ) через ( MA ):
[
MA^2 = 64 - R^2
]

С учетом, что мы можем выразить расстояние ( AB ) через ( R ):
[
AB = 2 \cdot \sqrt{64 - R^2} \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \sqrt{64 - R^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
]
[
AB = \sqrt{3} \cdot \sqrt{64 - R^2}
]

Нам нужно выразить ( R ). Угол ( OMA ) будет равен ( 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ ), отсюда:
[
\cos(30^\circ) = \frac{R}{MO} \Rightarrow R = MO \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}
]

Теперь наконец мы можем подставить значение ( R ) обратно в ( AB ):
[
AB = \sqrt{3} \cdot \sqrt{64 - (4\sqrt{3})^2}
]
[
= \sqrt{3} \cdot \sqrt{64 - 48} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{16} = 4\sqrt{3}
]

Таким образом, искомое расстояние между точками касания ( A ) и ( B ) равно:
[
\boxed{4\sqrt{3}}
]