Чтобы найти угол между прямыми, проведем исследования в правильной треугольной призме. Обозначим вершины треугольников на основании призмы как ( A, B, C ) (верхняя грань) и ( A', B', C' ) (нижняя грань), где ( A' ), ( B' ), и ( C' ) являются проекциями вершин на нижней основе.

Ребра призмы равны 4, следовательно, длина каждого ребра равно 4. Это значит, что длины всех сторон треугольника ( ABC ) также равны 4, и под углом ( 60^\circ ) создаётся правильный треугольник.

Прямые, между которыми нам нужно найти угол, приведем как:

Прямая, соединяющая вершины ( A ) и ( A' )Прямая, соединяющая вершины ( B ) и ( C' )

Теперь определим координаты точек:

( A(0, 0, 0) )( B(4, 0, 0) )( C(2, 2\sqrt{3}, 0) )( A'(0, 0, 4) )( B'(4, 0, 4) )( C'(2, 2\sqrt{3}, 4) )

Теперь запишем векторные координаты для описанных прямых:

Вектор ( A A' = (0 - 0, 0 - 0, 4 - 0) = (0, 0, 4) )Вектор ( B C' = (2 - 4, 2\sqrt{3} - 0, 4 - 0) = (-2, 2\sqrt{3}, 4) )

Теперь найдем угол между двумя векторами, используя формулу:
[
\cos \phi = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}
]
где ( a = (0, 0, 4) ) и ( b = (-2, 2\sqrt{3}, 4) ).

Найдем скалярное произведение:
[
a \cdot b = 0 \cdot (-2) + 0 \cdot (2\sqrt{3}) + 4 \cdot 4 = 16
]

Теперь найдем длины векторов:
[
|a| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 4^2} = 4
]
[
|b| = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 12 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
]

Теперь подставим в формулу:
[
\cos \phi = \frac{16}{4 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{16}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
]

Таким образом:
[
\phi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ
]

Ответ: угол между прямыми равен ( 45^\circ ).