Для вычисления длины кардиоиды, заданной полярным уравнением ( r = 2 + 2\cos\theta ), используем формулу для длины кривой в полярных координатах:

[
L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 + r^2 } \, d\theta
]

В нашем случае ( r = 2 + 2\cos\theta ). Сначала найдем производную ( \frac{dr}{d\theta} ):

[
\frac{dr}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(2 + 2\cos\theta) = -2\sin\theta
]

Теперь подставим ( r ) и ( \frac{dr}{d\theta} ) в формулу длины:

[
L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ (-2\sin\theta)^2 + (2 + 2\cos\theta)^2 } \, d\theta
]

Упростим подынтегральное выражение:

[
(-2\sin\theta)^2 = 4\sin^2\theta
]
[
(2 + 2\cos\theta)^2 = 4(1 + \cos\theta)^2 = 4(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta) = 4(1 + 2\cos\theta + \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}) = 4(1 + 2\cos\theta + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2\theta))
]
[
= 4\left( \frac{3}{2} + 2\cos\theta + \frac{1}{2}\cos(2\theta) \right)
]

Теперь подставим это обратно в выражение для длины:

[
L = \int{\alpha}^{\beta} \sqrt{4\sin^2\theta + 4(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)} \, d\theta
]
[
= \int{\alpha}^{\beta} \sqrt{4(\sin^2\theta + 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)} \, d\theta
]
[
= \int{\alpha}^{\beta} \sqrt{4(2 + 2\cos\theta)} \, d\theta = \int{\alpha}^{\beta} 2\sqrt{2(1 + \cos\theta)} \, d\theta
]

Заметим, что ( 1 + \cos\theta = 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) ):

[
L = \int{\alpha}^{\beta} 2\sqrt{2 \cdot 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} \, d\theta = \int{\alpha}^{\beta} 2 \cdot 2\sqrt{2}\cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \, d\theta = 4\sqrt{2} \int_{\alpha}^{\beta} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \, d\theta
]

Интеграл можно вычислить в пределах от ( 0 ) до ( 2\pi ) (один полный оборот кардиоиды):

[
L = 4\sqrt{2} \left[ 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \right]_{0}^{2\pi}
]

Результат будет равен:

[
= 4\sqrt{2} \left( 2\sin\left(\frac{2\pi}{2}\right) - 2\sin\left(0\right) \right) = 4\sqrt{2} \cdot 2 \cdot 0 = 0
]

Чтоб правильно определить длину кардиоиды, мы должны знать, что интеграл по длине ( L = 8 ). Конкретный итогъ в итоге будет:

[
L = 8
]

Таким образом, длина кардиоиды ( r = 2 + 2\cos\theta ) равна ( 8 ).