Чтобы представить дробь ( \frac{1}{17} ) в ( 10 )-адической системе, мы можем начать с вычисления её разложения в ряд с помощью деления.

Сначала, необходимо выразить ( 1 ) в виде ( 10 )-адического ряда, что можно сделать, если перевести ( \frac{1}{17} ) в ( 10 )-адическом виде.

Вычисляем ( \frac{1}{17} ) с помощью деления:
[
1 = 17 \times x + r
]
где ( x ) — это целая часть, а ( r ) — остаток. Если рассмотреть ( 10 \mod 17 ), то:
[
10 \div 17 = 0 \quad \text{(целой части нет)}
]
Остаток ( 10 ).

Повторяем процедуру, умножая остаток на 10:
[
100 \div 17 = 5 \quad \text{(целая часть)} \Rightarrow 5 \times 17 = 85 \quad \Rightarrow 100 - 85 = 15 \quad (ост.\ 15)
]
[
150 \div 17 = 8 \quad \Rightarrow 8 \times 17 = 136 \quad \Rightarrow 150 - 136 = 14 \quad (ост.\ 14)
]
[
140 \div 17 = 8 \quad \Rightarrow 8 \times 17 = 136 \quad \Rightarrow 140 - 136 = 4 \quad (ост.\ 4)
]
[
40 \div 17 = 2 \quad \Rightarrow 2 \times 17 = 34 \quad \Rightarrow 40 - 34 = 6 \quad (ост.\ 6)
]
[
60 \div 17 = 3 \quad \Rightarrow 3 \times 17 = 51 \quad \Rightarrow 60 - 51 = 9 \quad (ост.\ 9)
]
[
90 \div 17 = 5 \quad \Rightarrow 5 \times 17 = 85 \quad \Rightarrow 90 - 85 = 5 \quad (ост.\ 5)
]
[
50 \div 17 = 2 \quad \Rightarrow 2 \times 17 = 34 \quad \Rightarrow 50 - 34 = 16 \quad (ост.\ 16)
]
[
160 \div 17 = 9 \quad \Rightarrow 9 \times 17 = 153 \quad \Rightarrow 160 - 153 = 7 \quad (ост.\ 7)
]
[
70 \div 17 = 4 \quad \Rightarrow 4 \times 17 = 68 \quad \Rightarrow 70 - 68 = 2 \quad (ост.\ 2)
]
[
20 \div 17 = 1 \quad \Rightarrow 1 \times 17 = 17 \quad \Rightarrow 20 - 17 = 3 \quad (ост.\ 3)
]
[
30 \div 17 = 1 \quad \Rightarrow 1 \times 17 = 17 \quad \Rightarrow 30 - 17 = 13 \quad (ост.\ 13)
]
[
130 \div 17 = 7 \quad \Rightarrow 7 \times 17 = 119 \quad \Rightarrow 130 - 119 = 11 \quad (ост.\ 11)
]
[
110 \div 17 = 6 \quad \Rightarrow 6 \times 17 = 102 \quad \Rightarrow 110 - 102 = 8 \quad (ост.\ 8)
]
[
80 \div 17 = 4 \quad \Rightarrow 4 \times 17 = 68 \quad \Rightarrow 80 - 68 = 12 \quad (ост.\ 12)
]
[
120 \div 17 = 7 \quad \Rightarrow 7 \times 17 = 119 \quad \Rightarrow 120 - 119 = 1 \quad (ост.\ 1)
]

Собирательный результат:
Соединив все полученные целые части делений, получаем ( 0.0588235294117647...), что в десятичной системе пишется как:
[
\frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647} \quad (где\overline{...} - периодическая дробь).
]

Таким образом, в ( 10 )-адических числах ( \frac{1}{17} = (0.\overline{0588235294117647})_{10} ).