Для решения уравнения (\frac{x + 5}{x - 5} = \frac{x - 5}{x + 5}), начнем с перекрестного умножения.

Умножим обе стороны уравнения на ((x - 5)(x + 5)) (предполагая, что (x \neq 5) и (x \neq -5)):

[
(x + 5)(x + 5) = (x - 5)(x - 5)
]

Раскроем скобки:

[
(x + 5)^2 = (x - 5)^2
]

Теперь раскроем обе стороны:

[
x^2 + 10x + 25 = x^2 - 10x + 25
]

Вычтем (x^2 + 25) из обеих сторон:

[
10x = -10x
]

Сложим (10x) к обеим сторонам:

[
20x = 0
]

Таким образом, находим:

[
x = 0
]

Проверим, не является ли это значение исключением. Подставим (x = 0) обратно в исходное уравнение:

[
\frac{0 + 5}{0 - 5} = \frac{0 - 5}{0 + 5}
]

[
\frac{5}{-5} = \frac{-5}{5}
]

[
-1 = -1
]

Итак, уравнение верно.

Ответ: (x = 0).