Для решения задачи воспользуемся свойствами тригонометрии и построенных элементов в треугольниках.

Итак, у нас есть треугольник ( ABM ), в котором мы провели биссектрису ( MK ). Также в треугольнике ( CBM ) провели высоту ( MR ).

Из условия известно, что угол ( KMR = 90^\circ ), а ( SM = 12 ).

Рассмотрим треугольник ( CBM ). Поскольку ( MR ) — высота, это значит, что угол ( MRS = 90^\circ ).

В треугольнике ( ABM ) биссектрису ( MK ) проведём. Поскольку ( K ) — точка на ( AB ), мы можем использовать теорему о биссектрисе:
[
\frac{AK}{KB} = \frac{AM}{MB}
]

Поскольку угол ( KMR = 90^\circ ), мы можем рассматривать треугольник ( KMR ) как прямоугольный.

Без дополнительных данных о размерах или углах в треугольниках, например, длины ( AB ) или ( BM ), чтобы найти ( BM ) непосредственно, нужно воспользоваться известными соотношениями.

Можно также рассмотреть, что высота ( MR ) в треугольнике ( CBM ) не меняет расстояния, так как она отсекает ( SM = 12 ) от ( CM ).

К сожалению, без дополнительных данных или контекстов, например, значений или отношений между другими сторонами или углами треугольника, непосредственно вычислить ( BM ) не получится.

Если предположить, что ( B ) и ( C ) также имеют какое-то конкретное расстояние, может быть возможно произвести дальнейшие вычисления.

Пожалуйста, уточните, есть ли у вас дополнительные данные о треугольнике, которые могут помочь в вычислении ( BM ).