Давайте решим обе задачи по порядку.

Пусть двузначное число обозначается как ( xy ), где ( x ) — это первая цифра (десятки), а ( y ) — вторая цифра (единицы). Двузначное число можно записать как ( 10x + y ).

Если между цифрами ( x ) и ( y ) вставить ноль, то мы получим трехзначное число ( x0y ), которое можно записать как ( 100x + y ).

По условию задачи, это трехзначное число в 9 раз больше первоначального:

[
100x + y = 9(10x + y)
]

Решим это уравнение:

[
100x + y = 90x + 9y
]
[
100x - 90x = 9y - y
]
[
10x = 8y
]
[
\frac{x}{y} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}
]

Таким образом, ( x = 4k ) и ( y = 5k ) для некоторого ( k ). Поскольку ( x ) и ( y ) — это цифры, то они должны быть в пределах 0-9.

Если ( k = 1 ), то ( x = 4 ) и ( y = 5 ). Проверим:

Двузначное число: ( 45 ).
Трехзначное число: ( 405 ).
Проверим условие:
( 405 = 9 \times 45 ) — условие выполняется.

Таким образом, двузначное число — 45.

Пусть пятизначное число будет обозначаться как ( abcde ), где ( a, b, c, d, e ) — цифры числа. Это число можно выразить как:

[
N = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e
]

Согласно условию задачи, если Серёжа умножил его на 9, то получил число, записанное в обратном порядке:

[
9N = 10000e + 1000d + 100c + 10b + a
]

Подставим ( N ):

[
9(10000a + 1000b + 100c + 10d + e) = 10000e + 1000d + 100c + 10b + a
]

Раскроем скобки:

[
90000a + 9000b + 900c + 90d + 9e = 10000e + 1000d + 100c + 10b + a
]

Переносим всё на одну сторону:

[
90000a - a + 9000b - 10b + 900c - 100c + 90d - 1000d + 9e - 10000e = 0
]
[
89999a + 8990b + 800c - 910d - 9991e = 0
]

Решать такое уравнение сложно, но заметим, что ( 9N ) — это число, состоящее из тех же цифр, что и ( N ), только в обратном порядке. Из понадобится предположить некоторые значения.

Проверим известные пятизначные числа.

Если взять число ( 10989 ):

[
9 \times 10989 = 98901
]

И действительно, оно является обратным порядком к ( 10989 ).

Таким образом, исходное число — 10989.