Для нахождения суммы дробей вида ( S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{99 \cdot 100} ) можно воспользоваться разложением на простейшие дроби.

Сначала мы запишем общий член суммы:

[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
]

Теперь мы можем записать всю сумму:

[
S = \sum_{n=1}^{99} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)
]

Это телескопическая сумма. Распишем её подробнее:

[
S = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right)
]

При складывании многие члены сократятся и останется только:

[
S = 1 - \frac{1}{100} = 1 - 0.01 = 0.99
]

Таким образом, сумма дробей равна:

[
S = 0.99
]