Давайте обозначим числители двух дробей как ( a ) и ( b ), а их знаменатели как ( m ) и ( n ) соответственно, т.е. у нас есть дроби ( \frac{a}{m} ) и ( \frac{b}{n} ), где ( \frac{a}{m} \neq \frac{b}{n} ) и ( \frac{a}{m} < 1 ) и ( \frac{b}{n} < 1 ).

Мы хотим доказать, что существует натуральное число ( k ) такое, что ( a + k ) и ( b ) с соответствующими знаменателями ( m ) и ( n ) удовлетворяют неравенству:
[
\frac{a+k}{m} + \frac{b}{n} < 1.
]
Для этого запишем сумму:
[
\frac{a+k}{m} + \frac{b}{n} = \frac{a}{m} + \frac{b}{n} + \frac{k}{m}.
]
Обозначим ( S = \frac{a}{m} + \frac{b}{n} ). Тогда мы ищем ( k ) такое, что:
[
S + \frac{k}{m} < 1,
]
или, что эквивалентно:
[
\frac{k}{m} < 1 - S.
]

Обратите внимание, что, поскольку ( \frac{a}{m} < 1 ) и ( \frac{b}{n} < 1 ), следует, что ( S < \frac{m}{m} + \frac{n}{n} = 2 ). Однако так как дроби не равны и они обе меньше 1, мы на самом деле имеем:
[
S < 1,
]
потому что иначе одна из дробей была бы больше или равна 1.

Теперь определим:
[
t = 1 - S > 0.
]
Тогда наше неравенство становится:
[
\frac{k}{m} < t.
]
Отсюда следует, что:
[
k < t \cdot m.
]
Поскольку ( k ) — это натуральное число, мы можем взять ( k = \lfloor t \cdot m \rfloor ) (целая часть ( t \cdot m )), и поскольку ( t ) положительно, это число будет положительным.

Таким образом, для выбранного ( k ) из натуральных чисел можно будет доказать, что:
[
\frac{a+k}{m} + \frac{b}{n} < 1,
]
что и требовалось доказать. Это завершает наше рассуждение.

Мы можем заключить, что действительно можно увеличить один из числителей дробей на ( k ), так что эта сумма останется меньше 1.