Для вычисления предела выражения (\sqrt{1+x} - 1) при (x \to 0) можно использовать несколько методов. Рассмотрим наиболее распространенные:

Подстановка:
При (x \to 0) подставляем (x = 0):
[
\sqrt{1+0} - 1 = 1 - 1 = 0.
]
Но этот метод не дает информации о поведении выражения, если требуется более точная оценка.

Умножение на сопряжённое:
Можно умножить и разделить на сопряжённое выражение (\sqrt{1+x} + 1):
[
\frac{(\sqrt{1+x} - 1)(\sqrt{1+x} + 1)}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1+x - 1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{x}{\sqrt{1+x} + 1}.
]
Теперь мы можем вычислить предел:
[
\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{0}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{0}{2} = 0.
]

Ряды Тейлора:
Второй способ — воспользоваться разложением в ряд Тейлора для (\sqrt{1+x}) вокруг точки (x=0):
[
\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + O(x^3).
]
Тогда:
[
\sqrt{1+x} - 1 \approx \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + O(x^3).
]
При (x \to 0) этот предел также равен (0), так как все члены стремятся к нулю.

Лопиталь:
Также можно применить правило Лопиталя, если мы рассматриваем предел в виде (\frac{0}{0}):
[
\lim{x \to 0} \left( \sqrt{1+x} - 1 \right) = \lim{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{1/x}.
]
Применив Лопиталь:
[
\lim{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim{x \to 0} -\frac{x^2}{2\sqrt{1+x}} = 0.
]

Тонкости, которые следует учитывать:При использовании сопряженных выражений важно помнить, что это не всегда возможно, особенно при более сложных выражениях.При разложении в ряд важно, что данный метод требует хорошего знания свойств функций и их производных.Применение правила Лопиталя требует наличия неопределённостей, что не всегда соблюдается. Все методы приводят к одинаковым результатам, поэтому выбор метода может зависеть от контекста задачи и желаемого уровня точности.