Для поиска наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) чисел 84 и 180 можно использовать алгоритм Евклида и формулу для вычисления НОК через НОД.

1. Наибольший общий делитель (НОД)

Алгоритм Евклида:

Делим большее число на меньшее и находим остаток.Затем берем меньшее число и остаток и снова применяем алгоритм.Продолжаем процесс, пока остаток не станет равным нулю. На этом этапе меньшее число будет НОД.

Применение к 84 и 180:

Стартуем с чисел 180 и 84:
180 ÷ 84 = 2, остаток 12 (180 = 2 * 84 + 12)Теперь работаем с 84 и 12:
84 ÷ 12 = 7, остаток 0 (84 = 7 * 12 + 0)Остаток стал равен 0, значит НОД(84, 180) = 12.2. Наименьшее общее кратное (НОК)

Формула: [ \text{НОК}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\text{НОД}(a, b)} ]

Применим формулу для 84 и 180:

НОД(84, 180) = 12НОК(84, 180) = ( \frac{84 \cdot 180}{12} = \frac{15120}{12} = 1260 )Результаты:НОД(84, 180) = 12НОК(84, 180) = 1260Сравнение алгоритмов

Алгоритм Евклида:

Простой и эффективный для нахождения НОД.Работает с небольшим количеством шагов, так как деление и нахождение остатков происходит быстро.Идеален для больших чисел, так как его сложность логарифмическая.

Формула для НОК:

Позволяет вычислить НОК через уже найденный НОД, что делает процесс быстрым и удобным.Использует простое произведение чисел, что также легкодоступно.Обоснование выбораАлгоритм Евклида более предпочтителен для нахождения НОД из-за своей простоты и эффективности, особенно при работе с большими числами.Формула для вычисления НОК обеспечивает очень быструю связь между НОД и НОК, что делает данный подход наиболее удобным и практическим.

Таким образом, использование алгоритма Евклида для нахождения НОД, а затем применения формулы для НОК является оптимальным решением.