Неравенство ((a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)) является частным случаем неравенства Коши-Буняковского и может быть доказано с помощью некоторых алгебраических преобразований.

Доказательство неравенства:

Начнем с левой части:
[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
]

Теперь применим правую часть:
[
2(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2.
]

Для установления неравенства нам нужно показать, что:
[
a^2 + 2ab + b^2 \leq 2a^2 + 2b^2.
]

Перепишем это неравенство:
[
0 \leq 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2.
]
Это упрощается до:
[
0 \leq a^2 - 2ab + b^2.
]

Заметим, что (a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2). Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, имеем:
[
(a - b)^2 \geq 0.
]

Таким образом, ((a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)) справедливо для любых действительных чисел (a) и (b).

Полезность этого неравенства:

Анализ ошибок: Неравенство полезно в анализе ошибок в оценках. Например, при оценке разности между результатами можно использовать его для получения верхних границ.

Оптимизация: В задачах оптимизации, где требуется минимизация или максимизация функции, часто встречаются подобные неравенства, которые помогают устанавливать ограничения на переменные.

Статистические методы: В статистике это неравенство применимо в контексте вариации и дисперсии. Например, оно помогает оценивать разброс значений по сравнению с их средним.

Геометрические свойства: В геометрии это неравенство может служить основой для доказательства некоторых свойств, связанных с расстояниями на плоскости.

Таким образом, это неравенство имеет широкое применение в математике и ее приложениях в различных областях.