Чтобы решить задачу о количестве различных перестановок слова "MATH", следует использовать формулу для подсчёта перестановок. В данном случае, все буквы уникальны.

Слово "MATH" состоит из 4 уникальных букв: M, A, T, H. Количество перестановок можно вычислить по формуле:

[
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 1
]

где ( n ) — количество букв в слове. В нашем случае:

[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
]

Таким образом, существует 24 различных перестановки слова "MATH".

Изменение рассуждения для повторяющихся букв

Если в слове есть повторяющиеся буквы, то количество уникальных перестановок вычисляется по следующей формуле:

[
\frac{n!}{k_1! \times k_2! \times ... \times k_r!}
]

где:

( n ) — общее количество букв,( k_1, k_2, ..., k_r ) — количества каждой из повторяющихся букв.

Например, для слова "MISSISSIPPI", где M — 1 раз, I — 5 раз, S — 4 раза, и P — 2 раза, общее количество перестановок будет:

[
\frac{11!}{1! \times 5! \times 4! \times 2!}
]

Это учитывает, что перестановки повторяющихся букв не следует считать уникальными.