Сходимость Фурье рядов для функций с конечным числом разрывов является классической темой анализа. Существует несколько подходов и теорем, которые можно использовать для доказательства сходимости таких рядов.

Теорема о сходимости Фурье рядов для кусочно-гладких функций: Если функция ( f(x) ) определена на отрезке ([-L, L]), является кусочно-гладкой (имеет конечное число разрывов и конечное число производных на каждом из кусков), то её Фурье ряд сходится к самой функции в точках её непрерывности и к полусумме предела значений функции в точке разрыва.

Теорема Ниренберга: Для функции ( f ) с конечным числом разрывов, Фурье ряд этой функции сходится к ( f(x) ) в точках, где функция непрерывна, и к ( \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2} ) в точках разрыва (где ( f(x^+) ) и ( f(x^-) ) — правый и левый пределы функции в точке разрыва).

Использование неравенств Котте: Для оценки нормы Фурье рядов и исследования их сходимости можно использовать неравенства типа неравенства Котте, которые обеспечивают информацию о величине коэффициентов Фурье.

Критерий Вейерштрасса: Если Фурье ряд сходится равномерно, то он сходится к функции в любой точке её непрерывности. Для функций с конечными разрывами это может быть полезно.

Методы Hardy-Littlewood: Можно использовать методы оценки Фурье коэффициентов и их свойства для анализа сходимости.

Сходимость в среднем: Можно также рассмотреть сходимость Фурье ряда в среднем, что может быть легче для доказательства, особенно если рассматривать ( L^2 ) нормы.

Принцип Дирихле: Этот принцип помогает показать, что при добавлении определённых условий на функцию и её поведение на границах разрывов, можно добиться более надежной сходимости Фурье рядов.

Чтобы подытожить, сходимость Фурье рядов для функций с конечным числом разрывов доказуема с использованием различных методов анализа, включая теоремы о сходимости, неравенства и свойства Фурье коэффициентов.