В математике, в частности в теории функционального анализа, существует важная связь между абсолютной сходимостью последовательностей функций и равномерной сходимостью.

Рассмотрим последовательность ( f_n: X \to Y ) (где ( X ) — это множество, а ( Y ) — нормированное пространство), такая что для любого ( \epsilon > 0 ) существует ( N \in \mathbb{N} ) такое, что для всех ( n > N ):

[
\sum_{k=N}^{n} | f_k | < \epsilon.
]

Если эта последовательность функций положительно абсолютно сходится, это значит, что для любого x из области определения ( X ):

[
\sum_{k=1}^{\infty} | f_k(x) | < \infty.
]

Теперь рассмотрим равномерную сходимость. Мы хотим показать, что если последовательность ( f_n ) абсолютно сходится, то существует функция ( F: X \to Y ), такая что ( f_n ) сходится к ( F ) равномерно.

Поскольку последовательность ( { f_n } ) абсолютно сходится, то по определению для любого ( \epsilon > 0 ) можно найти такое ( N ), что для всех ( n > N ):

[
\sum_{k=N}^{\infty} | f_k(x) | < \epsilon
]

для любого ( x \in X ). Это значит, что разность ( f_n(x) - f_m(x) ) можно сделать сколь угодно малой, изменяя ( N ) и выбирая достаточно большие ( n ) и ( m ).

Следовательно, поскольку сумма ( \sum_{k=N}^{\infty} f_k ) является ограниченной (из-за абсолютной сходимости), мы можем утверждать, что:

[
| F - fn | = \sup{x \in X} | F(x) - f_n(x) | < \epsilon,
]

где ( F = \sum_{k=1}^{\infty} f_k ), что и доказывает равномерную сходимость.

Итак, результат о том, что абсолютная сходимость последовательности функций ведет к равномерной сходимости, основан на факте, что мы можем контролировать "разброс" всех функций в последовательности по всей области определения ( X ) одинаково.