В утверждении "Если f и g непрерывны и f(x) = g(x) почти всюду, то f = g" содержится ошибка. Давайте разберем, в чем она заключается.

Действительно, если функции ( f ) и ( g ) равны почти всюду на некотором промежутке, это означает, что множество точек, где они не равны, имеет нулевую меру (т.е., это множество является "малым"). Однако даже если функции непрерывны, это не гарантирует, что они совпадают на всем промежутке.

На самом деле, основной результат, который касается этого случая, гласит, что если две функции равны почти всюду, то они равны по мере, но это не означает, что они идентичны в обычном смысле. В частности, в случае непрерывных функций, если ( f ) и ( g ) равны почти всюду, то они должны совпадать на всем множестве, где они непрерывны. Однако на множестве с нулевой мерой это условие не гарантирует, что ( f ) и ( g ) совпадают.

Для конкретного примера рассмотрим функции:

[
f(x) = \begin{cases}
1, & x \in [0, 1) \
0, & x = 1
\end{cases}
]

[
g(x) = 0 \text{ для всех } x \in [0, 1].
]

Здесь ( f ) и ( g ) равны почти всюду на промежутке ( [0, 1] ) (намеренно исключая точку ( x = 1 )), однако они не равны. Кроме того, когда мы рассматриваем непрерывность, можно создать пример с функциями, которые сильно различаются на нуль-мерном множестве, но за счет непрерывности и равенства почти всюду они могут оказаться разными.

Таким образом, утверждение неверно, так как не учитывает, что равенство почти всюду не всегда подразумевает равенство функций в смысле значения в каждой точке, даже если обе функции непрерывны на некотором интервале.