Для доказательства того, что линейное отображение ( T: V \to W ) является невырожденным, можно использовать следующее определение и связанное с ним понятие ядра.

Определение невырожденного линейного отображения: Линейное отображение ( T ) считается невырожденным (инъективным), если для любых векторов ( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V ) выполняется равенство ( T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v}) ) только тогда, когда ( \mathbf{u} = \mathbf{v} ). Эквивалентно, отображение ( T ) является невырожденным, если его ядро состоит только из нулевого вектора, то есть:

[
\text{Ker}(T) = { \mathbf{0} }
]

где ( \text{Ker}(T) = { \mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} } ).

Связь с ядром: Если ядро линейного отображения ( T ) содержит только нулевой вектор, это означает, что нет других векторов (кроме нуля), которые отображаются в ноль. Таким образом, для любого вектора ( \mathbf{v} \in V ), у нас есть:

[
T(\mathbf{v}) = \mathbf{0} \implies \mathbf{v} = \mathbf{0}
]

Это условие и есть эквивалентная формулировка инъективности ( T ).

Таким образом, эффективная стратегия для доказательства невырожденности линейного отображения ( T ) состоит в следующем:

Вычислить ядро ( \text{Ker}(T) ).Показать, что ( \text{Ker}(T) = { \mathbf{0} } ).

Если это выполнено, то мы можем заключить, что ( T ) является невырожденным линейным отображением.

Пример: Рассмотрим линейное отображение ( T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m ), заданное матрицей ( A ). Для доказательства, что ( T ) невырождено, можно использовать следующее:

Найти нулевое решение системы ( A\mathbf{x} = \mathbf{0} ).Если только тривиальное решение ( \mathbf{x} = \mathbf{0} ) удовлетворяет этой системе, то ( \text{Ker}(T) = { \mathbf{0} } ), что доказывает, что ( T ) невырождено.

Таким образом, исследование ядра - это ключевой шаг в проверке инъективности линейного отображения.