Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами имеет следующий вид:

[
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0,
]

где ( p(x) ) и ( q(x) ) — функции от переменной ( x ).

Для нахождения общего решения такого уравнения можно использовать различные методы, среди которых:

Метод подбора решения (для некоторых специальных функций ( p(x) ) и ( q(x) ) можно попробовать найти решения в виде степенных рядов или других известных функций).Метод Фробеніуса (если функция имеет особую точку).Численные методы, если построить аналитическое решение не удается.

Метод вариации постоянных применяется для нахождения частного решения неоднородных дифференциальных уравнений:

[
y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x),
]

где ( g(x) ) — заданная функция. Прежде чем применить метод вариации постоянных, необходимо найти общее решение однородного уравнения ( y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 ).

Метод вариации постоянных применим в следующих случаях:

Если общее решение однородного уравнения найдено, то оно может быть представлено в виде ( y_h = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) ), где ( y_1(x) ) и ( y_2(x) ) — линейно независимые решения однородного уравнения.Вариация постоянных может быть использована, если функции ( p(x) ) и ( q(x) ) непрерывны на рассматриваемом интервале.Метод можно применять, если необходимо найти конкретное решение для функций ( g(x) ), которые являются непрерывными на этом же интервале.

Таким образом, основным условием для применения метода вариации постоянных является наличие двух линейно независимых решений однородного уравнения и непрерывность коэффициентов ( p(x) ) и ( q(x) ) на рассматриваемом интервале.