Когда критерий отношения (Ratio Test) даёт неопределённый результат (то есть, предел отношения членов ряда равен 1), можно воспользоваться дополнительными тестами, такими как критерий корней (Root Test) или интегральный тест. Один из альтернативных критериев, который может быть полезен в таких случаях — это критерий сравнения.

Критерий сравнения

Если ряд с положительными членами ( \sum a_n ) и ряд ( \sum b_n ) такие, что для больших ( n ) выполняется неравенство ( a_n \leq C b_n ) для некоторой постоянной ( C > 0 ), и если ( \sum b_n ) сходится, то также сходится и ( \sum a_n ). Если же ( \sum b_n ) расходится, то и ( \sum a_n ) также расходится.

Пример

Рассмотрим ряд

[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.
]

Мы можем взять в качестве сравниваемого ряда

[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2},
]

который известен как сходящийся (поскольку это п-простой ряд с ( p = 2 > 1 )).

Применение критерия сравнений

Для ( a_n = \frac{1}{n} ) и ( b_n = \frac{1}{n^2} ) выполняется неравенство:

[
\frac{1}{n} \geq \frac{1}{n^2} \quad \text{для всех } n \geq 1.
]

Следовательно, если мы сравниваем ряд ( \sum \frac{1}{n} ) с ( \sum \frac{1}{n^2} ), то, зная, что первый ряд расходится, можно сделать вывод о расходимости ряда ( \sum \frac{1}{n} ).

Таким образом, это иллюстрирует использование критерия сравнения, когда Ratio Test даёт неопределённый результат.