Для вычисления предела функции

[
\frac{x^2 - \sin^2 x}{x^4}
]

при ( x \to 0 ) будем использовать разложение функции ( \sin x ) в ряд Тейлора. Известно, что

[
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)
]

поэтому, если мы возьмем ( \sin^2 x ), то:

[
\sin^2 x = \left( x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \right)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)
]

Теперь подставим это выражение обратно в нашу функцию:

[
x^2 - \sin^2 x = x^2 - \left( x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6) \right) = \frac{x^4}{3} - O(x^6)
]

Таким образом, мы имеем:

[
x^2 - \sin^2 x \approx \frac{x^4}{3} \quad (x \to 0)
]

Теперь можем переписать предел:

[
\frac{x^2 - \sin^2 x}{x^4} = \frac{\frac{x^4}{3} - O(x^6)}{x^4} = \frac{1}{3} - O(x^2)
]

Когда ( x \to 0 ), член ( O(x^2) ) стремится к нулю, и остается только:

[
\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2 x}{x^4} = \frac{1}{3}
]

Таким образом, окончательно находим предел:

[
\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2 x}{x^4} = \frac{1}{3}
]