Для исследования параметрического интеграла

[
I(a) = \int_0^1 x^a \, dx
]

сначала найдем его аналитическое выражение. Интеграл можно вычислить следующим образом:

[
I(a) = \int_0^1 x^a \, dx = \left[ \frac{x^{a+1}}{a+1} \right]_0^1.
]

Здесь важно учитывать, что этот интеграл определен для ( a > -1 ) (в противном случае при ( x \to 0 ) возникает сингулярность).

Подставляя пределы интегрирования, получаем:

[
I(a) = \frac{1^{a+1}}{a+1} - \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{a+1}}{a+1} = \frac{1}{a+1} \quad \text{(при } a > -1\text{)}.
]

Если ( a = -1 ), интеграл становится

[
\int_0^1 x^{-1} \, dx,
]

который расходится (неопределенный). Для всех ( a < -1 ) интеграл также расходится.

Таким образом,

[
I(a) = \begin{cases}
\frac{1}{a+1}, & a > -1, \
\infty, & a \leq -1.
\end{cases}
]

Теперь исследуем функцию ( I(a) ) на дифференцируемость. Для ( a > -1 ) воспользуемся правилом дифференцирования под знаком интеграла:

[
I'(a) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial a} x^a \, dx = \int_0^1 x^a \ln(x) \, dx.
]

Теперь найдем ( I'(a) ):

[
I'(a) = \int_0^1 x^a \ln(x) \, dx.
]

Для вычисления этого интеграла можно использовать:

[
\int x^a \ln(x) \, dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} \ln(x) - \int \frac{x^{a+1}}{a+1} \cdot \frac{1}{x} \, dx,
]

что приведёт к:

[
= \frac{x^{a+1}}{a+1} \ln(x) - \frac{x^{a+1}}{(a+1)^2} + C.
]

Однако для получения значения интеграла от 0 до 1, можно воспользоваться известным результатом:

[
\int_0^1 x^a \ln(x) \, dx = -\frac{1}{(a+1)^2} \quad \text{(при } a > -1\text{)}.
]

Таким образом,

[
I'(a) = -\frac{1}{(a+1)^2} \quad \text{(при } a > -1\text{)}.
]

В итоге, мы имеем:

( I(a) ) определён и интегрируем для ( a > -1 ), равен ( \frac{1}{a+1} ),( I(a) ) не определён (расходится) для ( a \leq -1 ),( I(a) ) дифференцируем для ( a > -1 ),производная ( I'(a) = -\frac{1}{(a+1)^2} ) при ( a > -1 ).

Таким образом, функция ( I(a) ) является строго убывающей при ( a > -1 ).