Примером такой функции может быть функция Дирихле:

[
f(x) =
\begin{cases}
1 & \text{если } x \in \mathbb{Q} \
0 & \text{если } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
\end{cases}
]

Где (\mathbb{Q}) — это множество рациональных чисел, а (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) — это множество иррациональных чисел.

Эта функция равна 1 на множестве рациональных чисел (которые имеют меру 0) и 0 на множестве иррациональных чисел (которые занимают "почти" всё пространство в (\mathbb{R})).

Интеграл этой функции по любому отрезку равен 0, поскольку меру множества рациональных чисел можно считать нулевой, а функция равна 0 почти везде (на иррациональных числах). Таким образом, интеграл (f(x)) по любому отрезку ([a, b]) будет равен:

[
\int_a^b f(x) \, dx = 0.
]