Для анализа утверждения о том, что предел произведения равен произведению пределов, когда один из пределов бесконечен, нужно рассмотреть формальную постановку проблемы. В общем случае, если у нас есть две последовательности ((a_n)) и ((b_n)), то мы можем записать

[
\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot bn) = \lim{n \to \infty} an \cdot \lim{n \to \infty} b_n,
]

при условии, что оба предела существуют и конечны. Однако если хотя бы один из пределов равен бесконечности, ситуация меняется.

Рассмотрим, что происходит, если

(\lim_{n \to \infty} a_n = L), где (L) — конечная величина, и(\lim_{n \to \infty} b_n = \infty).

В этом случае можно записать:

[
\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = L \cdot \infty,
]

что ведёт к бесконечности, то есть

[
\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = \infty.
]

Произведение, в данном случае, становится неопределённым, если один из пределов стремится к нулю. Например, если (\lim_{n \to \infty} an = 0) и (\lim{n \to \infty} b_n = \infty), то мы имеем дело с формой (0 \cdot \infty), которая является неопределённой.

Однако, если оба предела не определены или один из них берется равным бесконечности, такое произведение не обязательно равняется произведению пределов в привычном смысле.

Примеры ошибок:

Пример с конечным пределом и бесконечным: Пусть (a_n = 1) и (bn = n). Тогда (\lim{n \to \infty} an = 1) и (\lim{n \to \infty} bn = \infty). По предположению,
[
\lim{n \to \infty} (a_n \cdot bn) = \lim{n \to \infty} (1 \cdot n) = \infty,
]
а с другой стороны, по ошибочному выводу:
[
\lim_{n \to \infty} an \cdot \lim{n \to \infty} b_n = 1 \cdot \infty = \infty.
]
Здесь ошибок нет, но подводя итог, непонятно, в каком контексте это равенство справедливо.

Пример с нулевым пределом и бесконечным: Пусть (a_n = \frac{1}{n}) и (bn = n^2). Здесь мы имеем:
(\lim{n \to \infty} an = 0) и (\lim{n \to \infty} bn = \infty). Тогда:
[
\lim{n \to \infty} (a_n \cdot bn) = \lim{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} \cdot n^2\right) = \lim{n \to \infty} n = \infty,
]
а по ошибочному правилу:
[
\lim{n \to \infty} an \cdot \lim{n \to \infty} b_n = 0 \cdot \infty,
]
что является неопределённым выражением.

Таким образом, следует помнить, что случаи, когда один из пределов равен бесконечности, требуют тщательного анализа, поскольку стандартная формула ( \lim (a_n b_n) = \lim a_n \cdot \lim b_n ) здесь не применяется. Обычно нужно будет уточнить, как ведут себя сами последовательности, чтобы вынести однозначный вывод о их произведении.