Центр масс (или центр тяжести) плоской фигуры определяется как точка, в которой можно сосредоточить всю массу фигуры, и он рассчитывается с использованием интегралов по области фигуры. Если рассматривать однородную плоскую фигуру, то центр масс можно найти по следующим формулам:

( x_{cm} = \frac{1}{A} \int_S x \, dS )( y_{cm} = \frac{1}{A} \int_S y \, dS )

где ( A ) — площадь фигуры, ( x ) и ( y ) — координаты точек на фигуре, а ( dS ) — элемент площади.

Давайте проанализируем, при каких условиях координаты центра масс могут совпадать с одной из вершин фигуры. Положим, например, что у нас есть вершина с координатами ( (x_0, y_0) ). Мы хотим, чтобы:

[
x_{cm} = x0 \quad \text{и} \quad y{cm} = y_0
]

Условия для совпадения центра масс с вершиной:

Форма фигуры: Для плоских фигур с простой геометрией (треугольники, квадраты и т. д.) такие условия могут выполняться, если распределение площади (или массы) несимметрично относительно выбранной вершины.

Симметрия: Если фигура симметрична относительно определенной оси, то центр масс будет находиться на этой оси, и если вершина находится на этой оси, то возможно совпадение центра масс с вершиной.

Условия распределения массы: Если фигура имеет переменное плотностное распределение и более тяжелые участки находятся ближе к выбранной вершине, это может сместить центр масс в её сторону.

Конфигурация: Для произвольной фигуры с массивом вершин, если масса распределена так, что одна из вершин «успешнее» остальных вытягивает центр масс к себе, также возможно совпадение. Для этого, например, можно расставить массы в фигуре так, чтобы одна из вершин оказалась самой «тяжелой» в сравнении с остальными.

Пример: Рассмотрим треугольник. Если мы добавим много массы в одну из его вершин и уберем массу из других частей, то центр масс сместится в сторону этой вершины. Если массы будут распределены определенным образом, можно достигнуть расположения центра масс в одной из вершин.

Заключение:

В общем, для того чтобы центр масс плоской фигуры совпадал с одной из её вершин, необходимо учитывать форму фигуры, симметрию, распределение массы и конфигурацию. Каждое из этих условий может влиять на положение центра масс, и соответственно необходимо анализировать конкретные примеры и задачи для получения точного результата.