Квадратное уравнение имеет вид:

[ ax^2 + bx + c = 0, ]

где ( a ), ( b ) и ( c ) — коэффициенты, причем ( a \neq 0 ).

Для анализа условий, при которых у уравнения есть вещественные корни, кратные корни, и как меняется график, рассмотрим дискриминант ( D ) этого уравнения:

[
D = b^2 - 4ac.
]

1. Условия для вещественных корней:

У квадратного уравнения есть вещественные корни, если дискриминант не отрицателен:

( D > 0 ): два различных вещественных корня.( D = 0 ): один кратный (двойной) вещественный корень.( D < 0 ): нет вещественных корней (корни комплексные).

2. Условия для кратных корней:

Краткие корни случаются в случае, если дискриминант равен нулю:

( D = 0 ) ⇒ один кратный корень ( x = -\frac{b}{2a} ).

3. Как меняется график:

График квадратного уравнения — это парабола, которая открыта вверх (при ( a > 0 )) или вниз (при ( a < 0 )).

Если ( D > 0 ): парабола пересекает ось X в двух точках.Если ( D = 0 ): парабола касается оси X в одной точке (вершина параболы лежит на оси X).Если ( D < 0 ): парабола не пересекает ось X и находится полностью выше (если ( a > 0 )) или ниже (если ( a < 0 )) оси X.

4. Влияние параметров ( a ), ( b ), и ( c ):

Изменение параметров ( a ), ( b ) и ( c ) влияет на положение и форму графика.

Изменение ( a ): определяет направление (вверх/вниз) и ширину параболы.Изменение ( b ): сдвигает параболу влево или вправо (изменяет вершину).Изменение ( c ): сдвигает параболу вверх или вниз (изменяет положение относительно оси Y).

Исследуя параметры и дискриминант, можно графически и аналитически описать поведение квадратного уравнения.