Для доказательства существования предела последовательности можно воспользоваться ε-δ (эпсилон-дельта) методом, который не требует использования метрической теории в строгом смысле, но включает понятие ограниченности и сходимости.

Рассмотрим последовательность ( a_n ), которая предполагается, что сходится к некому пределу ( L ). Мы хотим доказать, что для любого ( \varepsilon > 0 ) существует натуральное число ( N ), такое что для всех ( n > N ) выполняется неравенство ( |a_n - L| < \varepsilon ).

Шаги доказательства

Выбор ε: Пусть дано ( \varepsilon > 0 ). Мы должны найти такое натуральное число ( N ) (где ( N ) зависит от ( \varepsilon )), что все члены последовательности, начиная с ( N+1 )-го, будут находиться в пределах ( \varepsilon ) от ( L ).

Сходимость последовательности: Предположим, что последовательность ( a_n ) является ограниченной и, например, монотонной. Поскольку она ограничена (предположим, что ( a_n < M ) для некоторого ( M ) и всех ( n )), и монотонна (либо не убывает, либо не возрастает), по теореме о монотонной сходимости следует, что она имеет предел.

Определение N:

Найдем ( N ) таким образом, что ( a_n ) будет достаточно близок к ( L ). Например, если последовательность ( a_n ) является монотонной, то мы можем найти сумму ( a_n ) (в случае ограниченной монотонности), где найдется такой член, что для всех ( n > N ) выполняется ( |a_n - L| < \varepsilon ).

Заключение: Мы показываем, что существует такой натуральный номер ( N ), что для любого ( n > N ) справедливо ( |a_n - L| < \varepsilon ).

Пример

Рассмотрим последовательность ( a_n = \frac{1}{n} ). Мы хотим показать, что эта последовательность сходится к нулю (т.е. ( L = 0 )).

Пусть ( \varepsilon > 0 ) задано.Нам нужно найти ( N ), такое что для всех ( n > N )， справедливо ( |\frac{1}{n} - 0| < \varepsilon ).Это неравенство ( \frac{1}{n} < \varepsilon ) эквивалентно ( n > \frac{1}{\varepsilon} ).Мы можем выбрать ( N = \lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil ) (наименьшее целое число больше или равное ( \frac{1}{\varepsilon} )).Тогда для всех ( n > N ) ( |\frac{1}{n}| < \varepsilon ).

Таким образом, мы доказали, что последовательность ( a_n = \frac{1}{n} ) сходится к 0, не прибегая к метрикам, а используя свойства ограниченности и монотонности.