Связь между степенью полинома и количеством его критических точек можно исследовать с помощью теории, связанной с производной полинома. Критические точки полинома ( P(x) ) — это точки, в которых производная ( P'(x) ) равна нулю.

Степень полинома и его производная

Пусть ( P(x) ) — полином степени ( n ). Например, полином может быть записан в виде:

[
P(x) = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0
]
где ( a_n \neq 0 ).

Производная ( P'(x) ) будет иметь степень ( n-1 ), и она может быть записана как:

[
P'(x) = n an x^{n-1} + (n-1) a{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_1
]

Критические точки

Критические точки находятся из уравнения ( P'(x) = 0 ). Поскольку ( P'(x) ) — это полином степени ( n-1 ), он может иметь до ( n-1 ) различных корней. Это значит, что количество критических точек (ранее называемые точками минимума, максимума или перегиба) полинома степени ( n ) может быть в идеальном случае ограничено ( n-1 ).

Оценка сверху

Следовательно, можно формализовать это утверждение:

Полином степени ( n ) имеет производную степени ( n-1 ).Степень ( n-1 ) производной определяет, что у нее может быть максимум ( n-1 ) различных корней.

Таким образом, максимум возможного количества критических точек для полинома степени ( n ) не превышает ( n-1 ). Это утверждение можно обобщить:

[
\text{Количество критических точек} \leq n - 1
]

Пример

Рассмотрим полином ( P(x) = x^3 - 3x^2 + 4 ). Тогда его производная:

[
P'(x) = 3x^2 - 6x
]

Решаем уравнение ( P'(x) = 0 ):

[
3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0, x = 2
]

Здесь мы видим, что у полинома третьей степени (степень ( n = 3 )) есть 2 критические точки, что соответствует нашей оценке ( n - 1 = 2 ).

Заключение

В общем случае, связь между степенью полинома и количеством его критических точек дает нам ценное понимание поведения полиномов, и, как было показано, количество критических точек выраженного полинома не превышает степени минус один.