Извлечение корня из обеих частей уравнения — это операция, которую необходимо выполнять с осторожностью, поскольку она может привести к ошибкам, если не учитывать знак. Давайте рассмотрим конкретный пример, чтобы увидеть, как это может произойти.

Рассмотрим уравнение:

[
x^2 = 9
]

Если мы извлечем корень из обеих частей, то получим:

[
\sqrt{x^2} = \sqrt{9}
]

Обычно принято запись «извлечь корень» интерпретировать как:

[
|x| = 3
]

Это верно, поскольку корень из 9 может быть как положительным, так и отрицательным.

Однако если более не учитывать знак, мы можем ошибочно записать:

[
x = 3
]

Это не является полным решением, поскольку также существует еще одно решение:

[
x = -3
]

Таким образом, при извлечении корня из обеих частей уравнения важно помнить о том, что следует учитывать как положительное, так и отрицательное значение.

Контрпримером к неверному сообщению о решении будет выбор любого из этих двух значений, например, подставив ( x = -3 ):

[
(-3)^2 = 9
]

Так что в данном случае ( x = -3 ) также является решением оригинального уравнения.

Следовательно, правильная формулировка извлечения корня должна быть следующей:

[
x = \pm 3
]