Интеграл от неотрицательной функции может быть равен нулю только в одном случае: если область интегрирования имеет нулевую меру. Это означает, что функция может быть не равна нулю на множестве, имеющем нулевую меру, например, на отрезке, состоящем только из конечного числа точек, или на множестве, имеющем нулевую длину (например, на любом несчетном множестве).

Таким образом, если ( f(x) \geq 0 ) для всех ( x ) и:

[
\int f(x) \, dx = 0,
]

то это возможно, если ( f(x) ) не равна нулю на множестве, имеющем нулевую меру (например, на каком-то борелевском множестве, состоящем из точек, или на любом другом подобном множестве), и интегрирование проводится по области, где функция определена, но имеет нулевую меру.

Примером подобной ситуации может быть функция, которая равна 1 на нечетном множестве, содержащем конечное или счетное количество точек, и 0 везде еще. В этом случае интеграл по всей числовой прямой будет равен нулю, хотя функция и не равна нулю на конкретных точках.